うちは、オンプレでメールワイズを使ってません、
また、新着通知アプリも使ってはおりませんが、
物品注文やサーバ監視などは、メール転送端末を設置して
Outlookで、イントラネット(内)からインターネット(外)や
インターネット(外)からイントラネット(内)へのメール転送の仕組みがあります。

事務用品などを扱うサイトで注文すると、注文の受付メールや承認申請のメールを
外から内のサイボウズOfficeに届きます。
また、サーバのアラートが発生すると、内から外向けにメールを転送しかつサイボウズOfficeにも
メールが届く仕組みがあります。

この仕組みを使って、タスクスケジューラーとメールソフトを使って
予定のお知らせメール(リマインダー)を関連するスタッフに通知したりしてます。

参考として、情報提供です。

メールワイズは使ったことないので、推測でのお話になりますが、、
サイボウズOfficeに通知が入れば、スマホの新着通知アプリでプッシュ通知できそうな気がしますがどうでしょうか？

私の部下もスマホへのプッシュ通知がなくなることで大変困っていました。
サイボウズさんはOfficeのパッケージ版サポートなくしてしまうなど
もう少し利用者起点での対応をしてもらえるとありがたいです。